Matematika vaidina lemiamą vaidmenį norint suprasti elgesį ir darbą elektrinis ir elektroninės sistemos . Daugialypiai elementai, algebra, tikimybė, integracijos ir diferenciacijos ir kt. Yra reikšminga įrankių, naudojamų sistemoms išspręsti, dalis. Didėjant sistemų sudėtingumui, reikalingi labai sudėtingi metodai. Diferencinės lygtys yra aiškiai naudojamos apibrėžiant valdymo sistemas. Šias lygtis paprasta išspręsti. Tačiau sudėtingumas kyla sprendžiant aukštesnės eilės diferencialines lygtis. Norint išspręsti tokias sudėtingas aukštesnės eilės diferencialines lygtis, matematinis metodas pasirodė esąs veiksmingas Laplaso transformacija . Kadangi ši transformacija yra plačiai naudojama, yra naudinga žinoti, kam jos iš tikrųjų buvo skirtos ir kaip jos veikia.

Kas yra Laplaso transformacija?

Matematikoje kintamojo transformavimui iš vienos formos į kitą taikomos transformacijos, kad būtų lengviau valdyti lygtį. Laplaso transformacijos beveik daro tą patį. Jie transformuoja aukštesnės eilės diferencialinę lygtį į daugianario formą, kuri yra daug lengvesnė nei tiesiogiai išspręsti diferencialinę lygtį.

Bet yra įvairių transformacijų, pavyzdžiui, Furjė transformacija, z transformuojasi, kuo Laplaso transformacija yra ypatinga? Pagrindinis Laplaso transformacijos privalumas yra tas, kad jie yra apibrėžti tiek stabilioms, tiek nestabiliosioms sistemoms, o Furjė transformacijos - tik stabilioms sistemoms.

Laplaso transformacijos formulė

Funkcijos f (t) Laplaso transformacija laiko srityje, kur t yra tikrasis skaičius, didesnis arba lygus nuliui, pateikiamas kaip F (s), kur yra s yra kompleksinis skaičius dažnio srityje. t. s = σ + jω
Minėta lygtis laikoma vienašalis Laplaso transformacijos lygtis . Kai ribos išplečiamos į visą tikrąją ašį, tada Dvišalė Laplaso transformacija galima apibrėžti kaip
Praktinėse grandinėse kaip RC ir RL grandinės paprastai naudojamos pradinės sąlygos, todėl analizės tikslais taikomos vienpusės Laplaso transformacijos.
Kaip s = σ + jω, kai σ = 0, Laplaso transformacijos elgiasi kaip Furjė transformacija.

“ką veikia valdymo blokas ”

Laplaso transformacijos formulės

Laplaso transformacijos taikymo sąlygos

Laplaso transformacijos vadinamos vientisomis transformacijomis, todėl yra būtinos sąlygos šių transformacijų konvergencijai.
t. y. f turi būti lokaliai integruojamas intervalui [0, ∞) ir, priklausomai nuo to, ar σ yra teigiamas, ar neigiamas, e ^ (- σt) gali irti ar augti. Dvipusėms Laplaso transformacijoms, o ne vienai reikšmei, integralas konverguoja per tam tikrą verčių diapazoną, vadinamą konvergencijos regionu.

Laplaso transformacijos savybės:

Linijiškumas

Laiko perkėlimas

„Shift“ S srityje

Laiko pakeitimas

“įvairių tipų „Wi -Fi“ tinklai ”

Domeno diferencijavimas

Konvoliucija laike

Pradinės vertės teorema

Pradinės vertės teorema taikoma, kai Laplaso transformacijoje skaitiklio laipsnis yra mažesnis nei vardiklio laipsnis Galutinės vertės teorema:

Jei visi sF (-ų) poliai yra kairėje S plokštumos galinės vertės teoremos pusėje, taikoma.

Atvirkštinė Laplaso transformacija

Dėl konvergencijos Laplaso transformacija taip pat turi atvirkštinę transformaciją. Laplaso transformacijos rodo vienas nuo kito atvaizdavimą iš vienos funkcijų erdvės į kitą. Atvirkštinės Laplaso transformacijos formulė yra

Kaip apskaičiuoti Laplaso transformaciją?

Laplaso transformacija palengvina lygčių valdymą. Pateikus aukštesnės eilės diferencialinę lygtį, jai taikoma Laplaso transformacija, kuri lygtį paverčia algebrine lygtimi, taip palengvindama jos valdymą. Tada mes apskaičiuojame šaknis, supaprastindami šią algebrinę lygtį. Dabar randama paprastesnės išraiškos atvirkštinė Laplaso transformacija, kuri išsprendžia pateiktą aukštesnės eilės diferencialinę lygtį.

Laplaso transformacijos skaičiavimas

„Laplace Transform“ programos

Elektros ir elektroninės grandinės .
Sudėtingų diferencialinių lygčių skaidymas į paprastesnes daugianario formas.
Laplaso transformacija suteikia informacijos apie pastovias ir praeinančias būsenas.
Mašininiame mokyme Laplace'o transformacija naudojama prognozuojant ir analizuojant duomenų gavybą.
Laplaso transformacija supaprastina skaičiavimus modeliuojant sistemą.

Laplaso transformacijos taikymas apdorojant signalą

Signalo apdorojimui dažnai pasirenkamos Laplaso transformacijos. Kartu su Furjė transformacija, Laplaso transformacija naudojamas tirti signalus dažnio srityje. Kai dažnio srityje yra nedideli dažniai, galima tikėtis, kad signalas laiko srityje bus lygus. Signalo filtravimas paprastai atliekamas dažnio srityje, kuriam Laplasas veikia kaip svarbi priemonė konvertuojant signalą iš laiko srities į dažnio sritį.

Laplaso transformacijos taikymas valdymo sistemose

Valdymo sistemos paprastai yra skirtos kontroliuoti kitų prietaisų elgesį. Pavyzdys valdymo sistemos gali būti nuo paprasto namų šildymo valdiklio iki pramoninės valdymo sistemos, reguliuojančios mašinų elgesį.

Paprastai valdymo inžinieriai naudoja diferencialines lygtis aprašydami įvairių uždarojo ciklo funkcinių blokų elgseną. Laplaso transformacija čia naudojama sprendžiant šias lygtis neprarandant svarbiausios kintamos informacijos.

Linijinių laiko nekintančių sistemų apibūdinimas naudojant Laplaso transformaciją

Atsitiktinės sistemos ROC, susietos su sistema, funkcija yra dešinioji pusės plokštuma. Sistema yra atsitiktinė, jei jos impulsinis atsakas h (t) = 0, kai t> 0.

Jei sistemos funkcijų ROC H (s) apima jω ašį, tada L.T.I. sistema vadinama stabilia sistema. Jei atsitiktinė sistema su racionaliomis sistemos funkcijomis H (s) turi neigiamų realių visų polių dalių, tai sistema yra stabili.

Taigi Laplaso transformacija yra esminis įrankis analizuojant grandines. Mes galime pasakyti, kad stetoskopas yra gydytojas. Laplaso transformacijos turi valdyti inžinierių. Kaip manote, kuo Laplasas transformuojasi? Kokiu būdu jie buvo jums naudingi?