Kas yra „Fermi Dirac“ paskirstymas? Energijos juostos diagrama ir „Boltzmann“ aproksimacija

Elektronai ir skylių vaidina esminį vaidmenį perduodant elektros energiją Bulgarijoje puslaidininkiai . Šios dalelės puslaidininkyje yra išdėstytos skirtingu energijos lygiu. Elektronų judėjimas iš vieno energijos lygio į kitą gamina elektrą . Metalo viduje esančio elektrono energijos lygis turėtų būti bent jau didesnis už paviršiaus barjero energiją, kad galėtų patekti į aukštesnį energijos lygį.

Buvo pasiūlyta ir priimta daug tezių, paaiškinančių elektronų savybes ir elgesį. Tačiau tam tikra elektronų elgsena, pavyzdžiui, emisijos srovės nepriklausomybė nuo temperatūros ir kt., Vis tiek liko paslaptis. Tada proveržio statistika, „Fermi Dirac“ statistika , išleido Enrico Fermi ir Paulas Diracas 1926 m. padėjo išspręsti šiuos galvosūkius.

Nuo tada „Fermi Dirac“ paskirstymas yra naudojamas paaiškinti žvaigždės žlugimą baltam nykštukui, paaiškinti laisvą elektronų emisiją iš metalų ir kt.

„Fermi Dirac“ paskirstymas

Prieš patekdamas į „Fermi Dirac“ paskirstymo funkcija pažiūrėkime energijos elektronų pasiskirstymas įvairių tipų puslaidininkiuose. Didžiausia laisvo elektrono energija gali būti medžiagoje absoliučioje temperatūroje, t. esant 0k yra žinomas kaip Fermi energijos lygis. Fermi energijos vertė įvairioms medžiagoms skiriasi. Remiantis puslaidininkyje esančių elektronų energija, elektronai yra išdėstyti trijose energijos juostose - laidumo juostoje, Fermi energijos lygyje, Valentiškumo juostoje.

Nors laidumo juostoje yra sužadintų elektronų, valentinėje juostoje yra skylių. Bet ką reiškia „Fermi“ lygis? Fermi lygis yra energijos būsena, kurią gali 1/2 užimti elektronas. Paprasčiau tariant, tai yra maksimalus energijos lygis, kurį elektronas gali turėti esant 0k, o tikimybė rasti elektroną virš šio lygio absoliučioje temperatūroje yra 0. Esant absoliučiai nulinei temperatūrai, pusė Fermi lygio bus užpildyta elektronais.

Puslaidininkio energijos juostos diagramoje Fermi lygis yra vidinio puslaidininkio laidumo ir valentinės juostos viduryje. Išoriniam puslaidininkiui Fermi lygis yra netoli valentinės juostos P tipo puslaidininkis ir už N tipo puslaidininkis , jis yra netoli laidumo juostos.

Fermi energijos lygis žymimas IS_F, laidumo juosta žymima kaip IS_C o valentinė juosta žymima kaip E_V.

Fermi lygis N ir P tipuose

Fermi lygis N ir P tipo puslaidininkiuose

„Fermi Dirac“ paskirstymo funkcija

Tikimybę, kad esamą energijos būseną „E“ šiluminės pusiausvyros sąlygomis užims absoliučioje temperatūroje T esantis elektronas, suteikia Fermi-Dirac funkcija. Remiantis kvantine fizika, Fermi-Dirac pasiskirstymo išraiška yra

Kur k yra Boltzmanno konstanta ^ARBAĮ , T yra temperatūra ⁰Į ir IS_F yra Fermi energijos lygis eV.k = 1,38X10^{-2. 3}J / K

Fermi lygis reiškia energijos būseną su 50% tikimybe, kad ji bus užpildyta, jei nėra draudžiamos juostos, ty, jei E = E_F tada f (E) = 1/2 bet kuriai temperatūros vertei.

Fermi-Dirac pasiskirstymas tik nurodo būsenos užimtumo tikimybę esant tam tikram energijos lygiui, tačiau nepateikia jokios informacijos apie būsenų, esančių tuo energijos lygiu, skaičių.

„Fermi Dirac“ pasiskirstymo ir energijos juostos schema

f (E) Vs (E-E_F) sklypas

Aukščiau pateiktame grafike parodyta Fermi lygio elgsena įvairiuose temperatūrų diapazonuose T = 0⁰K, T = 300⁰K, T = 2500⁰Į. At T = 0K , kreivė pasižymi žingsninėmis savybėmis.

At T = 0⁰Į , bendras elektronų užimamų energijos lygių skaičius gali būti žinomas naudojant Fermi-Dirac funkciją.

Tam tikram energijos lygiui E> E_F , eksponentinis „Fermi-Dirac“ funkcijos terminas tampa 0 ir tai reiškia, kad tikimybė rasti užimtą energijos energijos lygį yra didesnė nei IS_F yra nulis.

Tam tikram energijos lygiui ISF kurio vertė reiškia, kad visi energijos lygiai su energija yra mažesni nei Fermi E lygio_Fbus užimtas T = 0⁰Į . Tai rodo, kad Fermi energijos lygis yra didžiausia energija, kurią elektronas gali turėti esant absoliučiai nulinei temperatūrai.

Jei temperatūra yra didesnė už absoliučią temperatūrą ir E = E_F , tada nepriklauso nuo temperatūros vertės.

Jei temperatūra yra didesnė už absoliučią temperatūrą ir ISF , tada eksponentinis bus neigiamas. f (E) prasideda nuo 0,5 ir linkęs didėti link 1, kai E mažėja.

Jei temperatūra yra didesnė už absoliučią temperatūrą ir E> E_F , eksponentinis rodiklis bus teigiamas ir didės, kai E. padidės. f (E) prasideda nuo 0,5 ir linkęs mažėti link 0.

„Fermi Dirac“ paskirstymas „Boltzmann“

Dažniausiai naudojamas „Maxwell-Boltzmann“ paskirstymas Fermi Dirac pasiskirstymo aproksimacija .

Fermi-Dirac pasiskirstymą pateikia

Iki naudojant Maksvelą - Boltzmanno priartinimas aukščiau pateikta lygtis sumažinama iki

Kai skirtumas tarp nešlio energijos ir Fermi lygio yra didelis, palyginti su terminu 1 vardiklyje, galima nepaisyti. Taikant Fermi-Dirac paskirstymą, elektronas turi vadovautis išskirtiniu Pauli principu, kuris yra svarbus esant dideliam dopingo kiekiui. Tačiau „Maxwell-Boltzmann“ paskirstymas nepaiso šio principo, todėl „Maxwell-Boltzmann“ aproksimacija apsiriboja mažai leistais atvejais.

„Fermi Dirac“ ir „Bose-Einstein“ statistika

„Fermi-Dirac“ statistika yra kvantinės statistikos šaka, apibūdinanti dalelių pasiskirstymą energijos būsenose, kurioje yra identiškos dalelės, paklūstančios Pauli-išskyrimo principui. Kadangi F-D statistika taikoma dalelėms, kurių sukinys yra pusė sveiko skaičiaus, jos vadinamos fermionais.

Sistema, susidedanti iš termodinamiškai pusiausvyros ir identiškų dalelių, esant vienos dalelės būsenai I, vidutinis fermionų skaičius nurodomas pagal F-D pasiskirstymą kaip

kur yra vienos dalelės būsena Aš , bendras cheminis potencialas žymimas į_B yra Boltzmanno konstanta, o T yra absoliuti temperatūra.

Bose'o-Einšteino statistika yra priešinga F-D statistikai. Tai taikoma dalelėms, kurių visas skaičius pasisuka arba nesisuka, vadinamoms Bosonais. Šios dalelės nepaklūsta Pauli išskyrimo principui, o tai reiškia, kad tą pačią kvantinę konfigūraciją galima užpildyti daugiau nei vienu bozonu.

F-D statistika ir Bore-Einšteino statistika taikoma, kai svarbus kvantinis efektas, o dalelės nesiskiria.

„Fermi Dirac“ pasiskirstymo problema

Gerai apsvarstykite energijos lygį, esantį 0,11eV žemiau Fermi lygio. Raskite tikimybę, kad elektronas neužims šio lygio?

„Fermi Dirac“ pasiskirstymo problema

Tai yra viskas „Fermi Dirac“ paskirstymas . Pagal aukščiau pateiktą informaciją galiausiai galime padaryti išvadą, kad sistemos makroskopines savybes galima apskaičiuoti naudojant „Fermi-Dirac“ funkciją. Jis naudojamas Fermi energijai žinoti tiek nulinės, tiek galutinės temperatūros atvejais. Atsakykime į klausimą be jokių skaičiavimų, remdamiesi mūsų supratimu apie Fermi-Dirac pasiskirstymą. Ar energijos lygiui E, 0,25e.V žemiau Fermi lygio ir temperatūrai, viršijančiai absoliučią temperatūrą, ar Fermi pasiskirstymo kreivė mažėja link 0 ar didėja link 1?